- Identificar las propiedades de la distribución Normal y sus parámetros $\mu$ y $\sigma$.
- Calcular probabilidades usando la distribución Normal estándar $Z$.
- Aplicar la regla empírica 68-95-99.7 en contextos gerenciales.
- Resolver problemas inversos: dado $P$, hallar el valor $x$ (percentiles).
- Aplicar la Normal a VaR, control de calidad y análisis de riesgo.
1. ¿Qué es la distribución Normal?
La distribución Normal (o gaussiana) describe fenómenos donde muchas causas pequeñas e independientes se suman: tipos de cambio, precios de commodities, errores de medición, tiempos de entrega.
donde $\mu$ = media (centro), $\sigma$ = desviación estándar (ancho). Se escribe $X \sim \mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2)$.
Propiedades clave:
- Simétrica alrededor de $\mu$: media = mediana = moda.
- Forma de campana determinada únicamente por $\mu$ y $\sigma$.
- El área total bajo la curva es exactamente 1 (probabilidad total = 100%).
- Puntos de inflexión en $\mu \pm \sigma$.
- Las colas se extienden infinitamente pero el área fuera de $\pm 3\sigma$ es < 0.3%.
Ajusta $\mu$ y $\sigma$ y observa cómo cambia la campana. Luego define el intervalo $[a,\, b]$ para calcular $P(a \le X \le b)$.
2. Estandarización: la puntuación Z
Para calcular probabilidades, toda Normal $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ se convierte a la Normal estándar $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$:
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$$Z$ mide cuántas desviaciones estándar está $X$ por encima (positivo) o por debajo (negativo) de la media. Esto permite usar una sola tabla de probabilidades para cualquier Normal.
$Z = 1.5$ significa que el valor $X$ está 1.5 desviaciones estándar por encima de la media. El 6.7% de los valores superan ese umbral en cualquier distribución normal.
Dado X → obtén Z y P
Dado percentil P → obtén X
3. Regla empírica 68-95-99.7
Para cualquier distribución Normal, el porcentaje de datos dentro de cada rango es siempre el mismo:
| Rango | Área (probabilidad) | Aplicación gerencial |
|---|---|---|
| $\mu \pm 1\sigma$ | 68.27% | Rango «normal» de operación diaria |
| $\mu \pm 2\sigma$ | 95.45% | Límites de control en calidad; intervalos de confianza 95% |
| $\mu \pm 3\sigma$ | 99.73% | Límites Six Sigma; eventos «casi imposibles» |
4. Casos resueltos
Caso 1: Riesgo cambiario (VaR)
El rendimiento diario del tipo de cambio USD/PEN sigue una distribución Normal con $\mu = 0.02\%$ y $\sigma = 0.45\%$. Un fondo tiene una posición de $5'000,000 de soles. ¿Cuál es la pérdida máxima esperada al 95% de confianza (VaR)?
$x = \mu + z \cdot \sigma = 0.02\% + (-1.645)(0.45\%) = 0.02\% - 0.740\% = -0.720\%$
$\text{VaR} = 5{,}000{,}000 \times 0.720\% = \mathbf{S/.\,36{,}000}$
Interpretación: en el 5% de los días más desfavorables, la pérdida superará los S/. 36,000.
Caso 2: Control de calidad (problema inverso)
El diámetro de piezas metálicas sigue $\mathcal{N}(50\text{ mm},\; 0.3\text{ mm}^2)$. Se desecha toda pieza fuera del rango $[49.4, 50.6]$ mm. ¿Qué porcentaje se desecha?
$Z_{\text{inf}} = \dfrac{49.4 - 50}{0.3} = -2.0$ → $P(X < 49.4) = \Phi(-2) = 0.0228$
$Z_{\text{sup}} = \dfrac{50.6 - 50}{0.3} = +2.0$ → $P(X > 50.6) = 0.0228$
$P(\text{rechazo}) = 0.0228 + 0.0228 = \mathbf{4.56\%}$
Por la regla $\pm 2\sigma$: el rango $[49.4, 50.6]$ contiene el 95.44% → se desecha el 4.56%.
Si la especificación exige < 1% de rechazo, el rango aceptable debería ampliarse a $\pm 2.576\sigma$ o reducir la variación del proceso.
Ingresa los parámetros de tu problema y selecciona qué quieres calcular.
- La Normal $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ es simétrica, acampanada y totalmente definida por $\mu$ y $\sigma$.
- La estandarización $Z = (X-\mu)/\sigma$ convierte cualquier Normal en la Normal estándar.
- La regla 68-95-99.7 permite estimaciones rápidas sin tabla.
- Problemas directos: dado $x$ → encontrar $P$. Problemas inversos: dado $P$ → encontrar $x$ (percentiles).
- Aplicaciones: VaR financiero, control de calidad Six Sigma, stock de seguridad logístico, análisis de crédito.